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Propriétés. an = {2n si 9k 2 N: n = k3 0 sinon. Rayon de convergence et somme en fonction de c A de la série entière å+¥ n=0 Tr(A n)z . Exercice 3 Déterminer le rayon de convergence des séries entières ∑ anzn suivantes : an = {n si n est pair, 0 sinon. Propriétés de la somme. Exemples de séries entières . Convergence et somme de la série (numérique) de terme général u n. Correction H [005754] Exercice 11 *** Soit A une matrice carrée complexe de format p 2N. xn, X 1 a n xn (en supposant de plus que ∀n ∈ N, a n 6= 0 ) SOLUTION : • a Alors la fonction somme Voici la série suivante: comprendre: somme de ce qu'il y a entre crochets avec n>=1 Moi, la limite en +oo je trouve 0 et donc R=+oo Séries entières: rayon de convergence Se souvenir de moi ? . III. Exemples. converge absolument). IV. Application : Rayon de convergence de la série n n en n.z 0 ∑ .sin +∞ =. Exemple 1 : Les polynômes P(z) = ∑ = n k k ak z 0. sont, si l’on veut, des séries entières de rayon de convergence infini. 210 Séries entières de variable réelle ou complexe. iii). Sommes et produits de séries entières Théorème Soient ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R' et ∑ b n xn une série entière de rayon de convergence R". 1) Continuité Théorème : Soit ∑ une série entière de rayon de convergence . Def 1Def 1: On appelle série entière série entièresérie entière toute série d'applications ( ) 0: n n f ≥ Exercice 2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ an 1+bn zn selon les aleursv de a;b 2 R +. 4- Rayon de convergence et calcul de la somme S 4(x) = X ... (les deux séries convergent) S(x) = 1 2 ... Que peut on dire des rayons de convergence des séries entières suivantes :X a n x 2n, X a2xn, X a 2nx n, Xa n n! Propriétés de la somme d'une série entière de la variable réelle Ici, est une série entière de la variable réelle dont le rayon de convergence est supposé positif et dont la somme est noté . Monier 4 I. Série entière; rayon de convergence. Exemple 2 : l’exponentielle ∑ +∞ n=0! A) des nombres réels pour lesquels la série entière de coefficient a n = n √ n converge (resp. Rayon de convergence. Ici, point de règle de d’Alembert ! Relations sur les rayons. Alors la … A. Définitions, premières propriétés. i). — Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre. On a n p |a n| = n1/n 2 = exp lnn n2 , et cette expression converge vers 1 = 1/R. Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple): = {| |: ∈, ∑} ∈ [, + ∞] = + ¯. Calculer la somme des séries ∑ 0 & u n et ∑ 0 & v n. En déduire, pour ∆ ‘ ]0,π[ la valeur de ∑ 0 & sin (2n + 1) ∆ 2n + 1. Le rayon de convergence vaut alors R = +∞, donc A = C = R. Déterminer le rayon de convergence R, l’ensemble C (resp. Théorème : Soient deux séries entières de rayons de convergences respectivement. ii). La série produit est une série entière de rayon de convergence . II) Propriété de la somme des séries entières Définition : La somme d’une série entière ∑ de rayon de convergence est une fonction définie sur son cercle de convergence |* ⁄ | +par ( ) ∑ . La série somme est une série entière de rayon de convergence . On note et les rayons de convergence respectivement des séries entières : , et . . Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\).. La proposition précédente permet de montrer que le rayon de convergence de chacune de ces séries est 1. Correction H [005755] Exercice 12 *** Pour x réel, on pose F(x) = e x 2 R x 0 e t dt. 2.

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