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On note S(R) l’espace de Schartz des fonctions C1(R) a d ecroissance rapide ainsi que toutes ses d eriv ees. Espaces de Hilbert et s´eries de Fourier 7.1 Espaces de Hilbert 7.1.1 Quelques d´efinitions et rappels D´efinition 7.1. de Fourier d’une fonction de L1(R). Espace préhilbertien - Série de Fourier . Application à la résolution de problèmes elliptiques en dimension un. Noyau de Dirichlet, noyau de Fej er 3 3. Dans le cas réel : Définition: . est équivalente à la densité de l’espace des polynômes trigonométriques dans L2([0,2⇡]) via le thm de Fejer, appli : série de Fourier - égalité de Pareseval, def - prop : fonction poids - L2(I,⇢) -produitscalaireassocié, prop : famille orthogonale de L2(I,⇢),exemple:polynômesdeHermite,. 1. Nous nous placons dans toute la suite dans le cas d’un espace vectoriel complexe, a) Lemme fondamental. Pré-requis Un espace vectoriel norm´e (H,k k) sur C (ou R) est de Hilbert si sa norme provient d’un produit scalaire et s’il est complet. S eries de Fourier 1 2. I) Espace préhilbertien 1) Produit scalaire . 1.1 – La projection orthogonale sur une droite Dde R2 passant par (x 0,y0) On a utilis´e ici le mod`ele de R2 pour faire un dessin, mais l’on aurait pu tout aussi bien reproduire ce sch´ema dans le cadre abstrait. — La fonction ^ == X * X* est un élément positif non nul de l'espace ^(L00) du groupe G et sa transformée de Fourier ^ == Ixl2 est un élément positif non nul de l'espace ^(L00) du groupe F. Démonstration. — La première partie du lemme provient du E désigne un espace vectoriel sur r ou c.. Espace H 1 (R), caractérisation à l'aide de la transformée de Fourier. LEMME I. Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Convergence L2 6 5. Transformées de Fourier des fonctions à support compact. Chapitre I Series de Fourier´ 1 Introduction Pour p 2N , on note Lp(T) l’espace des (classes de) fonctions mesurables sur R, 1- p´eriodiques (au sens o u` f(x+ 1) = f(x) pour presque tout x2R) et de … prop : densité des polynômes Th eor eme de Dirichlet 4 4. 1) Montrer que S(R) ˆL1(R) et que la transformation de Fourier pr eserve S(R) ( et est donc un isomorphisme de S(R) sur lui m^eme.) Master 1 Mathématiques Analyse Fonctionnelle HMMA113 Université de Montpellier Année universitaire 2016-2017 Feuille d’exercices no 3 Espaces de Hilbert, espaces Lp et transformée de Fourier Exercice 1 (Autour des espaces de Hilbert) Dans cet exercice les questions sont indépendantes les unes des autres. Espaces H 1 (I) et H 1 0 (I) où I est un intervalle borné : inégalité de Poincaré, injection dans les fonctions continues, caractérisation à l'aide des séries de Fourier. 2. Espace de Lebesgue L1() D e nition (Espace de Lebesgue L1()) L’espace de Lebesgue L1() est d e ni par L1() := [f] : f 2L1(): On dit aussi que L1() estl’espace quotientde L1() par le sous-espace l’espace vectoriel des fonctions nulles p.p. La transformation de Fourier diffère du développe-ment en série de Fourier qui ne se fait que pour des fonctions périodiques et qui engendre des coefficients cndiscrets. Espaces de Lebesgue et transform ee de Fourier. Th eor eme de Fej er 9 1. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire définie symétrique positive. Exercice 8. On peut constater que la transformée de Fourier agit sur un signal continu et fournit un signal dans l’espace de Fourier. 1.1 Rappel : l’espace euclidien Rn et l’espace hilbertien Cn 3 (x , y ) 0 0 M m D Fig. sur . Frank Pacard 5 / 30

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