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272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 Les deux problèmes sont complémentaires, il s'agit pour unr fonction donnée de trouver une série entière égale à cette fonction sur un intervalle à préciser, ou bien il s'agit pour une série entière de trouver une fonction usuelle à laquelle est est égale sur un intervalle à préciser. << 666.7 666.7 666.7 666.7 611.1 611.1 444.4 444.4 444.4 444.4 500 500 388.9 388.9 277.8 /FontDescriptor 24 0 R 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 ������G�e�+6*�} T1B=C��H�D��^iZ�;��r�U�Z�s_���쳃��@����0�u�=a��4��Ώ�6q�nxv�Ż�����,�V��m2:_�����������*f���N`�\�U��w;m�τ4�2Q 25 0 obj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 663.6 885.4 826.4 736.8 /Encoding 7 0 R /Contents 56 0 R /Type/Font Exercice V : Série entière et rayon de convergence Développer en série entière et déterminer les rayons de convergence : 1 x¡5, 1 1+9x2, 1 (1+ x)2, ln(5¡x). 22 0 obj 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 /Widths[791.7 583.3 583.3 638.9 638.9 638.9 638.9 805.6 805.6 805.6 805.6 1277.8 0000009980 00000 n endobj 767.4 767.4 826.4 826.4 649.3 849.5 694.7 562.6 821.7 560.8 758.3 631 904.2 585.5 611.1 798.5 656.8 526.5 771.4 527.8 718.7 594.9 844.5 544.5 677.8 762 689.7 1200.9 En utilisant laformule de Taylor : M1.1. III. 826.4 295.1 531.3] <> x��]��$�q�|�(��n���B@0l�,���/~�) Effectuer les changements d’indice nécessaires pour remettre tous les x à la même puissance. 611.1 777.8 777.8 388.9 500 777.8 666.7 944.4 722.2 777.8 611.1 777.8 722.2 555.6 1 est DSE(0) (développable en série entière autour de 0) alors son DSE(0) correspond à son développement de aTylor : X+1 n=0 f(n) 1 (0) n! 34 0 obj /BaseFont/OKXJZP+NimbusRomNo9L-Medi 795.8 795.8 649.3 295.1 531.3 295.1 531.3 295.1 295.1 531.3 590.3 472.2 590.3 472.2 324.7 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 795.8 472.2 531.3 767.4 826.4 531.3 958.7 1076.8 /FontDescriptor 21 0 R Le développement en série entière suit. 500 500 500 500 333 389 278 500 500 722 500 500 444 480 200 480 541 0 0 0 333 500 /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 777.8 777.8 777.8 500 277.8 222.2 388.9 611.1 722.2 611.1 722.2 777.8 777.8 777.8 652.8 598 0 0 757.6 622.8 552.8 507.9 433.7 395.4 427.7 483.1 456.3 346.1 563.7 571.2 147/quotedblleft/quotedblright/bullet/endash/emdash/tilde/trademark/scaron/guilsinglright/oe/Delta/lozenge/Ydieresis … /BaseFont/REDANJ+CMSY8 545.5 825.4 663.6 972.9 795.8 826.4 722.6 826.4 781.6 590.3 767.4 795.8 795.8 1091 startxref Exercice 17 **** I Développement en série entière de la fonction x 7!tanx Pour x 2 p 2; p 2, on pose f(x)=tanx. 19 0 obj Exercice 6 Convergence et valeur de . Déterminer le développement en série entière de sur ] [. /Subtype/Type1 3-c) Développements en série entière et dérivation ou intégration.....page 26 4) Développement en série entière des fractions rationnelles ..... page 27 c Jean-Louis Rouget, 2017. endobj 16 0 obj /Name/F7 /BaseFont/LRNBIS+MSBM10 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 333 333 570 570 570 500 930 722 667 722 II.1) Justifier que la fonction f est de classe C1 et que la fonction f 0 est développable en série entière. 295.1 826.4 501.7 501.7 826.4 795.8 752.1 767.4 811.1 722.6 693.1 833.5 795.8 382.6 0000000015 00000 n <<6DAEC98C191B3385A4E02EC74271D40A>]/Prev 106018>> dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor. h��=���q�Y�����D^�.�N���'��C��W�1��8).��tvC�t�,$���{-R��z�0� 0000025199 00000 n endobj 13 0 obj 53 0 obj 820.5 796.1 695.6 816.7 847.5 605.6 544.6 625.8 612.8 987.8 713.3 668.3 724.7 666.7 << endobj 4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières. Exprimer avec la suite (an)n2N le développement en série entière de la fonction f 0 en précisant son rayon de convergence. /FontDescriptor 30 0 R En comparant les coefficients de , on obtient : . >> 708.3 795.8 767.4 826.4 767.4 826.4 0 0 767.4 619.8 590.3 590.3 885.4 885.4 295.1 Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Développements en séries entières usuels Fonction Développement en série entière (DSE) Intervalle de validité du DSE x 6ex 23 0 /Type/Font 777.8 777.8 1000 500 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 1 1+3x, x 7! 14/Zcaron/zcaron/caron/dotlessi/dotlessj/ff/ffi/ffl/notequal/infinity/lessequal/greaterequal/partialdiff/summation/product/pi/grave/quotesingle/space/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/hyphen/period/slash/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon/less/equal/greater/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright/asciicircum/underscore/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/braceleft/bar/braceright/asciitilde 1277.8 811.1 811.1 875 875 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 888.9 888.9 888.9 /BaseFont/CBKWNR+CMEX10 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1055.6 944.4 472.2 833.3 833.3 833.3 833.3 389 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 220 500 333 747 300 500 570 333 747 333 C z 7! I.1.3 Dériver terme à terme le développement en série entière de F(x,z)et l’identi-fier avec le développement en série entière de la dérivée (par rapport à x) de F(x,z). /Encoding 7 0 R /FontDescriptor 18 0 R 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 1000 1000 777.8 666.7 555.6 540.3 540.3 429.2] On obtient 1 12 X n>0 (2 n 4( 1)n)(n+1)xn. /Subtype/Type1 Développement en série de Taylor: Cours 6 (26.03) Rayon de validité du développement en série de Taylor et rayon de convergence. 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 295.1 >> %�쏢 295.1 826.4 531.3 826.4 531.3 559.7 795.8 801.4 757.3 871.7 778.7 672.4 827.9 872.8 >> /Subtype/Type1 /Name/F6 2)En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que la série de Taylorà l’origine de f a un rayon de convergence R supérieur ou égal à π 2. 0000000952 00000 n >> 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 0000008808 00000 n >> trailer 3) On note an les coefficients du développement précédent et g la somme de la série entière associée à la suite (an)n∈N. /Subtype/Type1 /FontDescriptor 12 0 R Par la condition nécessaire et suffisante : étant supposée de classe sur , où et . 128/Euro/integral/quotesinglbase/florin/quotedblbase/ellipsis/dagger/daggerdbl/circumflex/perthousand/Scaron/guilsinglleft/OE/Omega/radical/approxequal /Filter[/FlateDecode] /Subtype/Type1 334 405.1 509.3 291.7 856.5 584.5 470.7 491.4 434.1 441.3 461.2 353.6 557.3 473.4 491.3 383.7 615.2 517.4 762.5 598.1 525.2 494.2 349.5 400.2 673.4 531.3 295.1 0 0 7.10 1) Déterminer le polynôme de Taylor de degré n de la fonction f(x)=ex au voisinage de a =0. /Name/F2 Développements en série entière, calcul de sommes de séries entières. 0000025834 00000 n 0000025571 00000 n 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 472.2 472.2 472.2 472.2 583.3 583.3 0 0 472.2 472.2 333.3 555.6 577.8 577.8 597.2 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i. 564 300 300 333 500 453 250 333 300 310 500 750 750 750 444 722 722 722 722 722 722 /LastChar 255 28 0 obj /Widths[295.1 531.3 885.4 531.3 885.4 826.4 295.1 413.2 413.2 531.3 826.4 295.1 354.2 << >> 495.7 376.2 612.3 619.8 639.2 522.3 467 610.1 544.1 607.2 471.5 576.4 631.6 659.7 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 Analyse : développement en série d’une fonction 7.4. 0000026061 00000 n /Type/Font /Widths[660.7 490.6 632.1 882.1 544.1 388.9 692.4 1062.5 1062.5 1062.5 1062.5 295.1 0000009360 00000 n 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 777.8 777.8 777.8 888.9 888.9 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 777.8 777.8 1000 1000 777.8 777.8 1000 777.8] 722 667 611 778 778 389 500 778 667 944 722 778 611 778 722 556 667 722 722 1000 >> /Name/F9 a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g. b) Pour tout x ∈ ] − 1 , 1[ , exprimer g ( x ) en fonction de f ( x ) . Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. 761.6 272 489.6] 777.8 1000 1000 1000 1000 1000 1000 777.8 777.8 555.6 722.2 666.7 722.2 722.2 666.7 << 722 1000 722 667 667 667 667 389 389 389 389 722 722 778 778 778 778 778 570 778 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 200 500 333 760 276 500 564 333 760 333 400 M1. M2. Corrigé de l’exercice 5 : Le rayon de convergence est égal à car et a même rayon de convergence que . Toute équation F(x,y) = o, dont le premier membre est une fonction holomorphe de deux va-riables x et y dans le voisinage d'un système de valeurs x0, y0, pour lequel on a F(x0tiy0) = o, la dérivée -7- n'étant pas nulle pour x = x0, yz=yOy 278 278 500 556 500 500 500 500 500 570 500 556 556 556 556 500 556 500] <> 1 4+2x2. /Name/F3 /FirstChar 33 REMARQUE SUR LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE DUNE BRANCHE DE FONCTION IMPLICITE; PAR M. E. GOURSAT. =|���o�?�����J��7v��c5 /Type/Font %%EOF /LastChar 196 Je cherche le développement en série entière de la fonction suivante : $ x \longmapsto \cos ( \cos (x) ) $ ... Tu peux peut-être exporter ton fichier Word en fichier .pdf et retenter ta chance. 722 611 333 278 333 469 500 333 444 500 444 500 444 333 500 500 278 278 500 278 778 0000010722 00000 n 1002.4 873.9 615.8 720 413.2 413.2 413.2 1062.5 1062.5 434 564.4 454.5 460.2 546.7 >> 699.9 556.4 477.4 454.9 312.5 377.9 623.4 489.6 272 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. x 7! 0000008787 00000 n Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. xÚÅX[Ü¶~ï¯P_ ñм‰ EbÇÅ ÔÛ¢@¶òŒÖ ‘&’f»Î¯Ï9‘{ü%úæöå[ ÁlÝÞG. Exercice 5 Convergence et valeur de . 1. /BaseFont/ZKZHBG+CMMI12 /Differences[1/dotaccent/fi/fl/fraction/hungarumlaut/Lslash/lslash/ogonek/ring 11/breve/minus Alors la série entière ∑ (a n + b n /Name/F4 J'attends ton bidouillage avec curiosité. /LastChar 127 �餀W�}����qvd�� �!�9lŒcqx�|ijycmY,�>�.�co`�Y@)e]�(`;0.tڎP+��u%����0�pT����f��0�D�a����Gj%v�H hCwD`�nd��*�3�z�t�W���#�1k|v�k���peh�a����I�4�׆Ov�o�6{%t6��eGeRo[g�-XJ�1S�8�"X��ٝ�h�

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